S_f와 l은 기어의 모듈 크기에 따라 변화하는 값이므로 S = φ_m, l=ψ_m이라 하자(f, j는 상수).

여기서,  6ψ / φ²를 루이스 치형계수 y라 한다.

..............①

위 ①식을 루이스 식이라 부른다.   그러나 루이스 식은 <그림1>에서 B와 C점에 작용하는 응력집중을 고려하지 않았다.  또한 원주방향 힘 W_r에 의해 이뿌리에 작용하는 수직응력(압축응력)과 전단응력을 고려하지 않았다.  이러한 기타 조건들을 고려한 수정계수를 루이스 식에 첨가한 것이 AGMA 굽힘강도 계산식이다.

1. AGMA 강도 계산식 적용 범위

-AGMA 굽힘강도 계산식은 평행축 상에서 작동하며 인볼루트 치형을 가진 평기어와 헬리컬 기어(내기어와 외기어)의 굽힘과 면압강도를 계산하는데 적용할 수 있다.
-AGMA 굽힘강도 계산식은 기어를 사용하는 동력전달장치의 전체 성능을 확인하기 위한 것은 아니다.
-AGMA 굽힘강도 계산식은 소성변형이나 용접 등과 같은 형태의 기어 이의 변형에는 적용할 수 없다.
-진동 조건이 AGMA6000-A88에서 제시하는 일반적인 조건을 초과하는 경우에는 적용할 수 없다.
-평기어의 정면 물림률이 1보다 적은 경우 적용할 수 없다.
-평기어나 헬리컬 기어의 정면 물림률이 2보다 큰 경우는 적용할 수 없다.
-백래시가 0인 경우는 적용할 수 없다
-스코링(Scoring) 강도는 현AGMA 2001-B88에는 포함되지 않았으나 다음 판에 규격으로 올리기 위해 계산식을 부록에 제시하였다.

2. 굽힘강도 계산식(각종 계수는 식을 소개한 다음 자세히 설명하였다.)

-s_t : 굽힘응력(kg/mm²)

계산된 굽힘응력은 기어 재료의 허용응력보다 작거나 같아야 한다. 이것을 다시 식으로 나타내면 다음과 같다.

s_at : 재료의 허용굽힘응력(kg/mm²)
K_L : 굽힘응력을 위한 수명 계수
K_T : 굽힘응력을 위한 온도 계수
K_R : 굽힘응력을 위한 신뢰도 계수

-W_t : 접선방향 전달력(kg)

여기서, P : 전달동력(kW)
T : 피니언에 전달된 토르크(Nm)
V_t : 피치원에서의 피치 원주 속도(m/s)
d : 피치원 직경(mm)

-m : 모듈(mm)
-K_a : 굽힘응력을 위한 적용 계수
-K_s : 굽힘응력을 위한 크기 계수
-K_B : 기어 림(rim) 두께 계수
-K_m : 굽힘응력을 위한 하중분포 계수
-K_v : 굽힘응력을 위한 동하중 계수
-J : 굽힘응력을 위한 기하 계수

3. 면압강도(Pitting Resistance)

면압강도는 두 개의 기어가 접촉할 때 기어의 표면이 설계된 수명시간 내에 견딜 수 있는 하중을 결정하기 위한 값이다. 따라서 면압강도는 기어의 경도와 조도, 재질의 종류와 열처리 방법과 기어 사용시간 등과 깊은 관련이 있다.

면압강도의 기본 계산식은 곡선형태를 가진 두 표면이 접촉할 때 발생하는 접촉응력을 계산하기 위한 헤르츠(Hertz) 응력 계산식을 기본으로 한다. 여기에 여러 가지 수정 계수를 첨가한 것이 AGMA 면압강도 계산식이다.

-s_c : 접촉응력(kg/mm²)

계산된 접촉응력은 재료의 허용접촉응력을 초과해서는 안된다.

s_ac : 재료의 허용접촉응력(kg/mm²)

C_L : 접촉응력을 위한 수명 계수
C_T : 접촉응력을 위한 온도 계수
C_R : 접촉응력을 위한 신뢰도 계수
C_H : 접촉응력을 위한 경도비 계수

-C_p : 탄성계수
-W_t : 접선전달력(kg/mm²)
-C_a : 면압강도를 위한 적용 계수
-C_s : 면압강도를 위한 크기 계수
-C_m : 면압강도를 위한 하중분포 계수
-C_f : 면압강도를 위한 표면조건 계수
-C_v : 면압강도를 위한 동하중 계수
-F : 치폭(mm)
-I : 면압강도를 위한 기하계수
-d : 피니언의 작용 피치원 직경(mm)

4. 적용계수 K_a와 C_a

적용계수는 기어에 작용하는 하중의 변동이나 진동, 속도 변화, 충격하중 여부를 고려하여 적용하는 하중에 관한 계수이다.   보통 사용하는 적용계수는 구동되는 기계와 하중의 경중에 따라 구분한다.

5. 기하계수 J , I

1)굽힘강도를 위한 기하계수 J

굽힘강도를 계산하기 위해 적용되는 기하계수 J는, 기어 이의 형태와 최악의 하중이 적용되는 위치와 하중이 접촉선을 따라 어떻게 분포되는 지를 평가하는 값이다.    기어에 작용하는 하중은 기어 이의 접선방향과 반경방향으로 작용하는 것을 모두 고려한 것이다.   AGMA는 기하계수 J를 다음과 같이 정의하고 있다.

Y : 치형계수, 기어 이의 형상에 따라 계산되는 값으로 계산이 복잡하여 수동으로 계산하기 어렵다.

K_ψ : 비틀림각 계수(Helix angle factor), 기어 형태에 따라 변화하는 값이다.
h_F : 루이스 포물선(Lewis parabola)의 높이.
s_F : 최악 단면에서의 이두께. AGMA나 BS는 이 값을 포물선법으로 구하고 JGMA, DIN은 30°접선법에 의해 구한다.
C_h : 헬리컬 계수(Helical factior)
f_nL : 로드 각(Load angle)
f_nr : 치직각 물림 압력각

K_f : 응력집중계수, 기어 이뿌리의 필렛 부분에 발생하는 응력집중을 계산하기 위한 계수이다.
m_N : 하중분단비율(Load sharing ratio), 평기어와 헬리컬 기어와 나누어 계산되며 하중이 기어의 이줄기를 따라 어떻게 분포되는지를 고려하기 때문에 피니언과 기어의 물림률과 연관이 있다.
C_y : 헬리컬 오버랩 계수(Helical overlap factor), 기어의 이줄기가 비틀린 각에 영향을 받기 때문에 평기어의 경우는 1.0으로 계산하고 헬리컬 기어는 비틀림각에 따라 변화한다.

기어의 기하계수는 그 식이 매우 복잡하기 때문에 기어에 대해 많은 공부를 한 후에 이해가 가능하다.

2) 접촉응력을 위한 기하계수 I

f_r : 정면물림압력각
d : 피니언 물림 피치원 직경
ρ₁ : 응력 집중 계산 점에서 피니언 인볼루트 곡선의 곡률반경
ρ₂ : 응력 집중 계산 점에서 피니언 인볼루트 곡선의 곡률반경
C_y : 헬리컬 오버랩 계수
m_N : 하중 분단 비율

6. 동하중계수 C_v, K_v

동하중계수는 기어의 이가 서로 맞물릴 때 발생하는 에러로 인해 기어가 내부적으로 받는 하중을 고려하기 위한 계수이다.    입력 토르크와 속도가 일정하더라도 기어 자체의 무게로 인한 진동이 있기 때문에 기어에 동적 하중이 작용할 수 있다.    이러한 하중들은, 기어 이가 맞물릴 때 기어의 진동으로 인해 야기되는 맞물림 에러에 의한 것일 수도 있다.    이론상 기어는 일정한 속도비를 가져야 하지만, 치형의 오차와 축간 조립오차 등 여러 가지 원인에 의해 기어의 속도비가 변화한다.    따라서 동하중계수는 기어 등급과 전달 속도에 따라 그 값이 변화한다.

AGMA에서 정한 동하중계수 계산식은 다음과 같다.

1) 기어 등급이 6 - 11일 때(이 기어 등급은 AGMA 등급을 말함)

여기서 Q_v : 기어등급
v_t : 피치원 상에서 원주속도(m/s)

2)기어 등급이 5일 때

피치원 속도가 13m/s보다 큰 경우는 이 식을 사용하면 안된다.

7. 탄성계수 C_p

탄성계수는 다음과 같이 정의한다.

C_p : 탄성계수([Mpa]0.5)
m_p와 m_G : 피니언과 기어를 위한 프와송비(Poisson's ratio)
E_p와 E_G : 피니언과 기어를 위한 탄성율(Mpa)

8. 표면조건계수 C_f

표면조건계수는 접촉응력을 구할 때만 사용한다. 이 계수는 다음 조건의 영향을 많이 받는다

a)치절삭이나 세이빙. 래핑, 연마 등에 의한 표면 가공 정도
b)잔류 응력
c)소성 변형

9. 크기계수 C_s, K_s

이 계수는 재료의 성분이 일정한지 여부를 반영한 값으로 다음 조건들에 영향을 받는다.

a) 이의 크기
b) 부품의 직경
c) 부품 직경에 따른 이의 크기 비율
d) 치폭
e) 이의 크기에 따른 침탄 깊이
f) 재료의 열처리 방법과 경도

10. 하중분포계수 C_m, K_m

이 계수는 기어 이의 가공 정도와 베어링 틈새와 기어 이 수정 여부 등에 많은 영향을 받는다.  즉 기어가 하중을 전달할 때 접촉하는 선을 따라 하중이 얼마나 일정하게 분포되는 지를 나타내는 값이다.

이 값은 실험식과 이론적인 식을 사용하는 두 가지 방법으로 계산할 수 있다.

1)실험적인 방법

여기서

-C_mc : 리드 수정계수

리드수정이 없으면 1.0으로 하고 기어 이에 크라운닝이나 리드 수정을 한 경우는 0.8로 한다.

-C_pf : 피니언 크기계수

치폭이 400mm보다 작을 때,    C_pf = (F/10d)-0.0375+0.000492F
치폭이 400mm보다 클 때,    C_pf = (F/10d)-0.1109+0.000815F-0.000000353F²
여기서 F는 기어의 치폭이고 d는 피치원 직경이다.

-C_pm : 피니언 크기 수정계수

피니언의 중심과 베어링이 설치되는 중심선까지의 거리 비율에 의해 결정되는 값이다.

-C_ma : 조립계수

재료의 탄성변형에 의한 것 이외에 조립이나 설치 에러에 의해 기어에 미치는 영향을 평가하기 위한 값이다.   이 값은 기어를 케이스 내부 또는 외부에 조립하는 지와 초정밀 기어인가 등에 따라 네 가지 곡선 값으로 구분된다.   이 값을 나타내는 그래프가 AGMA 규격에 나와 있으며 계산식은 다음과 같다.

위 식에 포함된 A, B, C 상수 값은 각 곡선에 따라AGMA에 표로 표시되어 있다.

-C_e : 조립수정계수

이 값은 조립시 기어 맞물림을 수정해주면 0.8 그렇지 않을 경우는 1.0으로 한다.

2) 이론식인 계산식

이 식은 기어가 다음과 같은 조건에 있을 때 사용하는 것이 좋다.

a)기어의 치폭과 피치원 비율이 2.0보다 크다(더블 헬리컬 기어의 경우 중간 갭은 치폭에 포함하지 않는다.)
b)기어 요소들이 축 끝에 작용하는 하중(overhung load)의 영향을 받는다.
c)기어가 맞물릴 때 접촉하는 치폭을 감소시킬 정도로 축의 변형일 일어난다.

-하중을 받을 때 치폭 전체가 접촉할 경우는 다음 계산식을 사용한다.

평기어의 경우,

헬리컬 기어인 경우,

-전체 접촉길이가 치폭보다 작을 경우는 다음 계산식을 사용한다.

평기어의 경우,

헬리컬 기어의 경우,

여기서,
G : 기어이의 강성계수
e_t : 전체 리드 에러(mm)
Z : 정면 작용선 길이(mm)
P_b : 정면 기초 피치(mm)

11. 허용응력 S_ac, S_at

재료의 허용응력은 재료의 구성과 기계적 성질, 잔류 응력, 경도, 열처리 방법에 따라 달라진다.   AGMA는 재료의 브리넬 경도에 따른 허용응력 그래프를 제시하고 있다.   또한 침탄과 고주파 열처리에 필요한 열처리 깊이도 식으로 제시하고 있다.

재료의 허용응력은 기어의 크기를 결정하고 제작 원가를 절감하는데 결정적인 역할을 하기 때문에 그 적용값을 신중하게 결정해야만 한다.

국내의 경우는 일본 재료의 허용응력 값을 대부분 사용하고 있다.   그러나 기어 제작 현장에서 이 값을 적용할 때는 국내의 열처리 기술 현황을 알아본 후 선진국에 비해 허용값이 다소 떨어지는 점을 감안하여 적용하는 것이 좋다.

12. 경도비계수 C_H

이 계수는 피니언과 기어 잇수 비율과 피니언과 기어의 재질 경도에 영향을 받는다.    피니언이 기어보다 경도가 높을 때 기어는 더 큰 하중에 견딜 수 있다.   이것을 고려하여 만든 식이 다음과 같으며 이 식은 기어에만 적용한다.

m_G : 피니언과 기어의 잇수 비율
H_BG : 기어의 브리넬 경도
H_BP : 피니언의 브리넬 경도
H_Bp/ H_BG < 1.2인 경우 C_H =1로 한다.

기어의 표면을 경화시켜 경도가 48HRC 이상인 피니언이 브리넬 경도가 180-400인 기어와 맞물릴 경우는 다음 계산식을 사용한다.

여기서
e : 자연로그
f_p : 피니언의 표면 조도

13. 수명계수 C_L, K_L

수명계수는 허용응력에서 요구하는 수명시간에 관한 것을 고려하기 위한 값이다.    AGMA는 허용응력을 10⁷ 사이클 동안 99%의 신뢰성을 가지도록 계산하고 있다.

수명계수는 기어에 사용되는 윤활유와 피치속도와 잔류응력과 재질의 표면 조건 등의 영향을 받는다.    하중이 부과되는 사이클에 따라 수명계수를 구하는 식과 그래프가 AGMA 규격에 포함되어 있다.

14. 신뢰도계수 C_R, K_R

신뢰도계수란 정상적인 운전동안 기어가 얼마나 파손되는 지를 나타내는 값으로 실험에 의해 산출된 자료를 사용한다.    기어를 10⁷ 사이클 동안 가동하였을 때, 만 개중 하나가 파손되면 1.50, 천 개중 하나가 파손되면 1.25, 백 개중 하나가 파손되면 1.00, 열 개중 하나가 파손되면 0.852로 한다.

15. 온도계수 C_T, K_T

기어에 사용되는 윤활유의 온도나 기어의 온도가 120°C를 넘지 않는 경우는 1.0으로 한다.   120°C를 넘는 경우는 1.0보다 큰 값을 사용해야 한다.    특히 175°C를 넘는 경우는 재료의 경도와 강도가 떨어지기 때문에 온도를 낮추기 위한 장치를 사용해야만 한다.